集合的运算教案
11-05 次遇见篇一：集合的运算教案
1.2.2 集合的运算
第1课时 交集与并集
【学习要求】
1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．
2.能使用Venn图表示集合的交集和并集运算结果，体会直观图对理解抽象概念的作用．
3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的交集与并集运算．
【学法指导】
通过观察和类比，借助Venn图理解集合的交集及并集运算，培养数形结合的思想；体会类比的作用；感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁性和准确性.
填一填：知识要点、记下疑难点
1.交集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即A∩B＝ {x|x∈A且x∈B}.
2.交集的性质：(1)A∩B＝ B∩A ；(2)A∩A＝A ；
(3)A∩?＝?∩A＝? ；(4)如果A?B，则A∩B＝A .
3.并集的定义：一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即A∪B＝ {x|x∈A或x∈B} .
4.并集的性质：(1)A∪B＝ B∪A ；(2)A∪A＝A ；(3)A∪?＝?∪A＝A ；(4)如果A?B，则A∪B＝B .
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加减法运算，如果把集合与实数相类比，我们会想两个集合是否也可以进行“加减”运算呢？本节就来研究这个问题．
探究点一 交集
问题1 你能说出集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{3,4,5,6,8}，C＝{3,4,5}；
(2)A＝{x|x≤3}，B＝{x|x>0}，C＝{x|0 (3)A＝{x|x为高一(4)班语文测验优秀者}，B＝{x|x为高一(4)班英语测验优秀者}，C＝{x|x为高一(4)班语文、英语测验优秀者}． 答：通过观察得出集合C由集合A和集合B中的相同的元素构成． 问题2 在问题1中，我们称集合C为集合A、B的交集，那么如何定义两个集合的交集？ 答：交集的定义：一般地，对于给定的集合A，B，由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”．即 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 问题3 如何用集合语言表示直线l与⊙O相交于两点A，B? 答： l∩⊙O＝{A，B} 问题4 对于任意两个集合A，B，它们的交集有怎样的性质？ 答：A∩B＝B∩A, A∩B?A，A∩B?B. 问题5 如何用Venn图表示集合A∩B? 答：集合A∩B为下图所示的阴影部分． 问题6 A∩B＝A可能成立吗？A∩B＝?呢？ 答：都有可能成立．当A?B时，A∩B＝A成立； 当集合A、B没有共同的元素时，A∩B＝?. 例1 求下列每对集合的交集： (1)A＝{x|x2＋2x－3＝0}，B＝{x|x2＋4x＋3＝0}； (2)C＝{1,3,5,7}，D＝{2,4,6,8}． 解 (1)A∩B＝{1，－3}∩{－1，－3}＝{－3}； (2)C∩D＝? . 小结 两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集． 跟踪训练1 设A＝{x|x是奇数}，B＝{x|x是偶数}，求A∩Z，B∩Z，A∩B. 解：因为A是Z的子集，B是Z的子集，所以A∩Z＝A，B∩Z＝B，A∩B＝{x|x是奇数}∩{x|x是偶数}＝?. 例2 已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，求A∩B. ?4x＋y＝6解：A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}＝{(x，y)|?}＝{(1,2)}． ?3x＋2y＝7 小结：由于集合A和B都是一个二元一次方程的解集，集合A和B的元素是有序实数对，所以A交B为二元一次方程组的解集． 跟踪训练2 已知A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B. 解 A∩B＝{x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}＝{x|x是等腰直角三角形}． 探究点二 并集 问题1 请同学们考察下列两组集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？ (1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}； (2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}． 答：通过观察，得出集合A和集合B的元素放在一起即为集合C的元素． 问题2 在问题1中，我们称集合C为集合A，B的并集，那么如何定义两个集合的并集？ 答：一般地，对于两个给定的集合A与B，由两个集合的所有元素构成 的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”．即 A∩B＝{x|x∈A 或x∈B}. 问题3 如何用Venn图表示集合A与B的并集？ 答：集合A∪B可用下图(1)或(2)阴影表示． 问题4 如何用并集运算符号表示问题1中A，B，C三者之间的关系？ 答：A∪B＝C. 问题5 集合的并集有什么性质？ 答：(1)A∪B＝B∪A，(2) A∪A＝A；(3)A∪?＝?∪A＝A； (4) 如果A?B，那么A∪B＝B. 问题6 A∪B＝A可能成立吗？ A∪B＝?呢？ 答：都有可能成立．当B?A时，A∪B＝A成立； 只有当A＝B＝?时，A∪B＝?. 例3 已知Q＝{x|x是有理数}，Z＝{x|x是整数}，P＝{x|x是无理数}，求Q∪Z，Q∪P. 解：Q∪Z＝{x|x是有理数}∪{x|x是整数}＝{x|x是有理数}＝Q； Q∪P＝{x|x是有理数}∪{x|是无理数}＝{x|x是实数}． 小结：两个集合的并集仍是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的，它们的公共元素在并集中只能出现一次．对于表示不等式解集的集合的运算，可借助数轴解题． 跟踪训练3 (1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B. (2)设集合A＝{x|－1 A∪B. 解：(1)A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}． (2)A∪B＝{x|－1 还可以在数轴上表示A∪B，如图． 探究点三 交集、并集的应用 例4 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，若A∪B＝A，求实数a的值． 解 ∵A＝{1,2}，A∪B＝A， ∴B?A，∴B＝?或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}． 当B＝?时，Δ<0，a不存在， ?Δ＝0当B＝{1}时，??1－a＋a－1＝0 ?Δ＝0当B＝{2}时，??4－2a＋a－1＝0 ?1＋2＝a当B＝{1,2}时，?，∴a＝3. 1×2＝a－1? 综上所述，a＝2或a＝3. 小结：在利用集合的交集、并集性质解题时，若条件中出现A∪B＝A，或A∩B＝B，解答时常转化为B?A，然后用集合间的关系解决问题，运算时要考虑B＝?的情况，切记不可漏掉． 跟踪训练4 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值． 解：由题意得A＝{－4,0}，因为A∩B＝B，所以B?A. 当B＝?时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 当B≠?时，若集合B中仅含一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}?A，即a＝－1符合题意． 若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0， 即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0， ?－4＋0＝－2a＋1，则有?2?－4×0＝a－1，，∴a＝2. ，∴a不存在． 解得a＝1， 则a＝1符合题意． 综上所述，a＝1或a≤－1. 练一练：当堂检测、目标达成落实处 1.已知集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∪B＝{1,2,4,6}. 解析： A∪B是由A，B的所有元素组成的． A∪B＝{1,2,4,6}． 2.设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x, y)|y＝x＋2，x∈R}, 则A∩B＝__?______. 解析：由于集合A表示的是数集，集合B表示的是点集，因此没有公共元素，故答案为?. 3.设A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤1}，求A∩B 和A∪B. 解：A∩B ＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0 A∪B＝{x|x>0}∪{x|x≤1}＝R. 课堂小结：1.对并集、交集概念全方面的感悟 (1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的． “x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A、B两者之一的元素组成的集合． (2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝?. 2.集合的交、并运算中的注意事项 (1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性． (2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值是否取到. 篇二：集合的运算教案 1 【引课】 师生共同欣赏图片“中国所有的大熊猫”、“我们班的所有同学”． 师：“物以类聚”；“人以群分”；这些都给我们以集合的印象． 引入课题 【新授】 课件展示引例： (1) 某学校数控班学生的全体； (2) 正数的全体； (3) 平行四边形的全体； (4) 数轴上所有点的坐标的全体 1. 集合的概念． (1) 一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，我们就说，这个整体是由这些对象的全体构成的集合(简称为集)． (2) 构成集合的每个对象都叫做集合的元素． (3) 集合与元素的表示方法：一个集合，通常用大写英文字母 A，B，C，…表示，它的元素通常用小写英文字母 a，b，c，? 表示． 2. 元素与集合的关系． (1) 如果 a 是集合 A 的元素，就说a属于A，记作a?A，读作“a属于A”． (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ? A．读作“a不属于A”． 3. 集合中元素的特性． (1) 确定性：作为集合的元素，必须是能够确定的．这就是说，不能确定的对象，就不能构成集合． (2) 互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象． 4. 集合的分类． (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集． (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集． 5. 常用数集及其记法． (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作 N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作 N＋或 N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作 Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作 Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作 R． 【巩固】 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． (1) 小于 10 的自然数的全体；(2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的 26 个大写字母； (4) 非常接近 1 的实数． 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ? Q，b ? Q，则 a＋b ? Q． 例2 用符号“?”或“?”填空： N，N，－，N；，Z，－Z，； ，Q，－，；，，－R，． 练习2 用符号“?”或“?”填空： 1 (1) －；Q；(3) Z； 31 (4) －；(5) ； 2 【小结】 1. 集合的有关概念：集合、元素． 2. 元素与集合的关系：属于、不属于． 3. 集合中元素的特性． 4. 集合的分类：有限集、无限集． 5. 常用数集的定义及记法． 【作业】 教材P4，练习A组第1~3题 浙江省衢州中等专业学校课时工作计划 2 【引课】 1. 集合、元素、有限集和无限集的概念是什么？ 2. 用符号“?”与“?”填空白： N； (2) －2 Q； (3)－2 ． 师：刚才复习了集合的有关概念，这节课我们一起研究如何将集合表示出来． 【新授】 1. 列举法． 当集合元素不多时，我们常常把集合的元素列举出来，写在大括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫列举法． 例如，由1，2，3，4，5，6这6个数组成的集合，可表示为： {1，2，3，4，5，6}． 又如，中国古代四大发明构成的集合，可以表示为： {指南针，造纸术，活字印刷术，火药}． 有些集合元素较多，在不发生误解的情况下，可列几个元素为代表，其他元素用省略号表示． 如：小于100的自然数的全体构成的集合，可表示为 {0，1，2，3，?，99}． 例1 用列举法表示下列集合： (1) 所有大于3且小于10的奇数构成的集合；(2) 方程 x2－5 x＋6＝0的解集．解 (1) {5，7，9}；(2) {2，3}． 练习1 用列举法表示下列集合： (1) 大于3小于9的自然数全体； (2) 绝对值等于1的实数全体； (3) 一年中不满31天的月份全体； (4) 大于3.5且小于12.8的整数的全体． 2. 性质描述法． 给定 x 的取值集合 I，如果属于集合 A 的任意元素 x 都具有性质 p(x)，而不属于集合 A 的元素都不具有性质p(x)，则性质 p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合 A 可以用它的特征性质描述为 {x?I | p(x)} ，它表示集合 A是由集合 I 中具有性质 p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做性质描述法． 使用特征性质描述法时要注意： (1) 特征性质明确； (2) 若元素范围为 R，“x?R”可以省略不写． 【巩固】 例2 用性质描述法表示下列集合： (1) 大于3的实数的全体构成的集合； 篇三：集合的基本运算教案 集合的基本运算教案 教学内容：人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章1.1.3，教材9~12页。 教学目标：1、让学生清楚把握并集、交集、补集的概念。 2、让学生把握如何求出并集、交集、补集。 3、让学生能清楚区分并集、交集、补集，并把握它们之间的关系。 4、培养学生的类比迁移的数学方法，提高学生学习的兴趣。 教学重点：让学生把握如何求出并集、交集、补集。 教学难点：能用图示法表示出集合的关系，能从图示中看出集合的关系。 教学用具：多媒体 教学过程： 一、 导入：同学们，我们之前学习过了数的运算，那么我们的集合是否也具备一些运算呢？好，那我们今天就来研究一下集合的基本运算。 二、 新授： 1、并集 我们知道，实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？考察下面的集合，你能说出集合C与集合A、B之前的关系吗？ （1）A=�x|x是有理数� B=�x|x是无理数� C=�x|x是实数� （2）A=�1、3、5�B=�2、4、6�C=�1、2、3、4、5、6� 让学生根据这个问题各抒己见，教师根据学生的回答，适时引入并集的概念。 同学们，刚才你们发现A和B相加就是C，我们还可以得到这样一种关系：集合C是有所有属于集合A或属于集合B的元素组成，那么像这样由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，我们称为A与B的并集，记做：A∪B，读作：A并B 即A∪B=�x|x?A或x?B� 韦恩图表示为 那么像刚才我们引入的题目我们就可以有C=A∪B 又C=A∪B同学们能不能得出它们的另一个关系呢？A?C、B?C 教师讲解例4、例5 例4教师向学生提问A∪B=�4、5、6、8、3、5、7、8�对不对？为什么不对？ （让学生对前面学习集合元素的互异性进行巩固，让学生明白并集并不是两个集合的简单相加） 例5让学生清楚用数轴表示出集合，并能从数轴上看出集合的并集 A∪A=A A∪空集=A ? 2、交集 考察下面问题，集合A、B与集合C之间有什么关系？ （1）A=�2、4、6、8、10�B=�3、5、8、12� C＝�8� （2）A=�x|x是新华中学2004年9月在校的女同学� B=�x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级同学� C=�x|x是新华中学2004年9月在校的高一年级女同学� 让学生根据这个问题各抒己见，教师根据学生的回答，适时引入交集的概念。 集合C的元素由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作：A?B，读作：A交B 即有A?B=�x|x?A且x?B� 韦恩图表示为 那么像刚才我们引入的题目我们就可以有C=A?B 那么集合A、B、C之前的另一种关系是什么？C?A、C?B 下列关系成立吗？A?A=A A?空集=A？ 3、补集 在我们小学都中学我们学习的数的范围都是在逐步扩大的，想方程（x-2）(x2-3)=0的解集，我们在不同的范围研究我们就会得到不同的解。那么像这种如果一个集合含有我们所研究问题涉及的所有元素，称这个集合为全集，记为?，对于一个集合A，由全集?中不同于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集?的补集，简称为集合A的补集，记为 CUA 即有CUA==�x|x∈U且x?B� 韦恩图表示为 教师讲解例8、例9，让学生再次明白和区分并集、交集、补集 作业12页1、4练习讲解12页2、3 三、 课堂小结 1、学生小结 2、教师小结：（1）今天我们学习了集合的三种运算，哪三种？ 并集A∪B=�x|x?A或x?B� 交集A?B=�x|x?A且x?B� 补集CUA==�x|x∈U且x?B� 四、 知识拓展 集合A=�x|-2 (1)若B?A，求实数m的取值范围？ (2) 当x?Z，求A的非空真子集个数，当x?R时，没有元素x使x?A与x?B同时成立，求实数m的取值范围？
《集合的运算教案》
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